Question

已知函数，，

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若对任意的，都有恒成立，求的最小值；

（3）设，，若，为曲线的两个不同点，满足，且，使得曲线在处的切线与直线AB平行，求证：

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1；（3）证明过程详见解析

【解析】

试题分析：

第一问，当时，先求出的解析式，对求导，将代入到中得到切线的斜率，将代入到中得到切点的纵坐标，最后用点斜式写出切线方程；第二问，本问是恒成立问题，先转化成恒成立，即构造函数求函数的最小值大于等于0即可，对求导对参数a进行讨论，分和，求导，利用导数求函数的最值，判断是否符合题意；第三问，先利用已知条件求出解析式，求出直线AB的斜率，通过对求导，求出曲线在处的切线的斜率，由于两直线平行，所以两斜率相等，由于，所以在定义域内单调递减，用分析法得欲证，需证明，通过变形得，即，构造新函数，通过求导判断函数的单调性和最值，只需证明最小值大于0即可

试题解析：（1）,斜率,

所以，曲线在处的切线方程为 2分

(2) 恒成立恒成立

令，，，，

（ⅰ）若，则恒成立，∴函数在为单调递增函数，

恒成立，又∵，∴符合条件

（ⅱ）若，由，可得，解得和（舍去）

当时，；当时，；

∴

恒成立矛盾

综上，a的最小值为1 7分

（Ⅲ），

又∵，∴，∴

由，，易知其在定义域内为单调递减函数

欲证证明

即，变形可得：

令，，原不等式等价于，等价于

构造函数，

则，，令，，

当时，，

∴在上为单调递增函数，

∴在上为单调递增函数，

∴，

∴在上恒成立

∴成立，∴得证

考点：1 利用导数研究函数的单调性；2 利用导数求函数的极值和最值