Question

已知函数，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是．

Answer 1

解：（I）当a=1时，，g'（x）=-x²+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），则，此抛物线关于x=对称，
由可得，0＜≤1．对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+≤1，
即 ．
（2）关于x的实系数方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即 =0，
∴g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 ，即
，等价于 ，等价于 ．
分析：（I）要使g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，只要它的最小值f（-1）≥0，即-1-1+c≥0，解得c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+≤1，求得c的范围．
（2）g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 ，等价于
，从而证得结论．
点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，二次函数在闭区间上的值域，充要条件的定义，判断g′（x）=0两个
实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 ，是解题的难点．