Question

12．已知椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分别为左、右顶点，F₂为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F₁的直线交椭圆于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-2求得a的值，则b可求，椭圆方程可求；
（2）由（1）知F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），则斜率不存在时，用坐标分别表示出$\overrightarrow{{F}_{2}M}$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，直接求得$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$；直线斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+$\sqrt{2}$），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，消去y得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4（k²-1）=0．利用根与系数的关系求得M，N的横纵坐标的积，把$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$转化为M，N的横坐标的和与积的形式，代入后化为关于k的函数式得答案．

解答 解：（1）由题意知，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，则a²=2b²，
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-a-x，-y）•（a-x，-y）
=${x}^{2}-{a}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}（{x}^{2}-{a}^{2}）$，
∵-a≤x≤a，∴当x=0时，$（\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}）_{min}=-\frac{{a}^{2}}{2}=-2$，
∴a²=4，则b²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由a²=4，b²=2，得$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴${F}_{1}（-\sqrt{2}，0），{F}_{2}（\sqrt{2}，0）$，
则直线斜率不存在时，
M（-$\sqrt{2}$，1），N（-$\sqrt{2}$，-1），于是$\overrightarrow{{F}_{2}M}=（-2\sqrt{2}，1）$，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（-2$\sqrt{2}$，-1），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=7；
直线斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+$\sqrt{2}$），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，消去y得
（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4（k²-1）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}=（{x}_{1}-\sqrt{2}，{y}_{1}），\overrightarrow{{F}_{2}N}=（{x}_{2}-\sqrt{2}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=${x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2+{k}^{2}（{x}_{1}+\sqrt{2}）（{x}_{2}+\sqrt{2}）$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（\sqrt{2}{k}^{2}-\sqrt{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2k²+2
=$（1+{k}^{2}）•\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}+\sqrt{2}（{k}^{2}-1）•\frac{-4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2k²+2
=$7-\frac{9}{1+2{k}^{2}}$．
∵1+2k²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$≤1
∴$7-\frac{9}{1+2{k}^{2}}$∈[-2，7），
综上知，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$∈[-2，7]．

点评 本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查运算能力，解题时应注意分类讨论，同时正确用坐标表示向量，是中档题．