Question

已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若f（2t²+1）＜f（t²-2t+1），求t的取值范围；
（3）设函数g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)，其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值．
（2）由于f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂

4x+1

2x

在（0，+∞）上是增函数，故由不等式可得 t²-2t+1＞2t²+1，由此求得t的范围．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2(4x+1)-x=log2(a•2x-

4

3

a) 在区间（log2

4

3

，+∞）上有唯一解，利用换元法，化为整式方程，分类讨论，求得a的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
解得k=-1．
（2）由（1）可得，f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂ 

4x+1

2x

 在（0，+∞）上是增函数，
故由f（2t²+1）＜f（t²-2t+1）可得 t²-2t+1＞2t²+1，解得-2＜t＜0，即不等式的解集为（-2，0）．
（3）∵a＞0，∴函数g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)的定义域为（log2

4

3

，+∞），
即方程log2(4x+1)-x=log2(a•2x-

4

3

a) 在区间（log2

4

3

，+∞）上有唯一解，
即方程

4x+1

2x

=a•2^x-

4

3

a 在区间（log2

4

3

，+∞）上有唯一解．
令令2^x=t，则t＞

4

3

，因而等价于关于t的方程（a-1）t²-

4a

3

t-1=0at-1=0（*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．
当a=1时，解得t=-

3

4

，不合题意；
当0＜a＜1时，记h（t）=（a-1）t²-

4a

3

t-，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

，
∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）上无解．
当a＞1时，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＞0，
所以，只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此式恒成立，∴此时a的范围为a＞1．
综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数的性质，函数的单调性的应用，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键，属于中档题．