Question

9．求所有的m∈R，使得mx²+8（m-1）x+7m-16≤0至多有6个整数解，且其中有一个为2．

Answer 1

分析 通过讨论m的范围，结合函数的解的个数从而求出m的范围．

解答 解：令f（x）=mx²+8（m-1）x+7m-16，
由f（2）≤0⇒m≤$\frac{32}{27}$，又f（-1）=-8＜0，
∴-1也是f（x）≤0的整数解，
此时不等式已有4个解：-1，0，1，2；
若m≤0，则3，4，5也是f（x）≤0的解，与题目要求不符；
故m＞0，此时，f（-2）=-5m＜0也为不等式的解，
又f（-3）=-8（m-1），f（3）=40（m-1），
当m=1时，3与-3均为不等式的解，不合题意；
当m∈（0，1）时，f（-3）＞0，f（3）＜0，
f（4）应大于0，有f（4）=16m+32m-32+7m-16＞0⇒m＞$\frac{48}{55}$，
当m∈（1，$\frac{32}{27}$]时，f（3）＞0，f（-3）＜0，f（-4）应大于0，
有f（-4）=-9m+16＞0⇒m＜$\frac{16}{9}$，而$\frac{32}{27}$＜$\frac{16}{9}$，
综上所述，有m∈（$\frac{48}{55}$，1）∪（1，$\frac{32}{27}$]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式的解的情况，分类讨论思想，是一道中档题．