Question

【题目】已知函数f（x）=exsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的 ，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+excosx， ，过点 作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex（sinx+cosx）= ，

∴f（x）的增区间为 ；减区间为 ．

（2）解：令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx

要使f（x）≥kx恒成立，只需当 时，g（x）min≥0，

∵g'（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），则h'（x）=2excosx≥0对 恒成立，

∴h（x）在 上是增函数，则 ，

①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在 上为增函数，

∴g（x）min=g（0）=0，∴k≤1满足题意；

②当 时，g'（x）=0在 上有实根x0，h（x）在 上是增函数，

则当x∈[0，x0）时，g'（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合题意；

③当 时，g'（x）≤0恒成立，g（x）在 上为减函数，

∴g（x）＜g（0）=0不符合题意∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]．

（3）解：∵F（x）=f（x）+excosxex（sinx+cosx）∴F'（x）2excosx

设切点坐标为 ，则切线斜率为

从而切线方程为 = ，

∴ ，

令y1=tanx， ，这两个函数的图象均关于点 对称，

则它们交点的横坐标也关于 对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{xn}的项也关于 成对出现，

又在 共有1008对，每对和为π；

∴S=1008π．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f（x）﹣kx，问题转化为g（x）min≥0，令h（x）=ex（sinx+cosx），通过讨论k的范围求出函数g（x）的单调性，从而确定a的范围即可；（3）设出切点坐标，求出切线方程，分别令y1=tanx， ，得到这两个函数的图象均关于点 对称，从而求出数列{xn}的所有项之和的值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．