Question

等差数列{a_n}的各项为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中项
（1）求a_n与b_n；        
（2）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中项，即可列出方程组求的q、d的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后裂项求和法求出和，最后利用放缩法即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由已知可得

q(3+3+d)=16 2q2=3+3+d

．
解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）证明：∵Sn=

n(3+2n+1)

2

∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
∵n≥1∴0＜

1

n+1

，

1

n+2

＞0
∴

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

点评：本题考查的是数列通项的求法与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、前n项和公式以及放缩法等知识．值得同学们体会反思．