Question

【题目】直线y=x+a与抛物线y2=5ax（a＞0）相交于A，B两点，C（0，2a），给出下列4个命题：
p1：△ABC的重心在定直线7x﹣3y=0上，p2：|AB| 的最大值为2 ；
p3：△ABC的重心在定直线 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值为2 ．
其中的真命题为（　　）
A.p1 ， p2
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p3 ， p4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图，

联立 ，得x2﹣3ax+a2=0．

△=9a2﹣4a2=5a2＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=3a， ．

∴y1+y2=x1+x2+2a=5a，

∵C（0，2a），由重心坐标公式可得：△ABC的重心坐标为（ ， ）=（a， ）．

把点（a， ）代入7x﹣3y=0成立，代入 3x﹣7y=0不成立，

∴命题p1是真命题，p3是假命题；

|AB|= = ．

∴|AB| = ，

令g（a）=﹣a3+3a2（a＞0），则g′（a）=﹣3a2+6a=﹣3a（a﹣2），

当a∈（0，2）时，g′（a）＞0，当a∈（2，+∞）时，g′（a）＜0，

∴g（a）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，

则g（a）max=g（2）=4，

∴|AB| 的最大值为 ，

∴命题p2是真命题，p4是假命题．

∴真命题是p1，p2 ．

所以答案是：A．