Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥中，E为CD中点，，，已知.

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证明线线垂直，需线证明线面垂直，由条件可证明，并且根据边长可证明可知AB，BP，AP三边适合勾股定理，则AB⊥BP，这样有AB⊥面APE，可证明线线垂直；

（2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，作垂直于平面，

利用几何关系求各得坐标，并求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求正弦值.

（1）连结AE，由于E是CD中点，且∠ADC=60°，故AE⊥AB，

又有，而，，

故可知AB，BP，AP三边适合勾股定理，则AB⊥BP，

那么有AB⊥面APE，而，故.

（2）如图建系，其中O是AD中点，易知，，，

对于P的坐标，易知，有，记P在面ABCD上的投影为H，

，

可得，，即.

有，，

可求得平面APE的法向量（不唯一），

同理可求得平面BPE的法向量，

很显然该二面角的余弦值的绝对值为，那么它的正弦值为.