Question

5．如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（Ⅱ）求四边形OPDC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，由余弦定理将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（Ⅱ）当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时，可求四边形OPDC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△POC中，由余弦定理，
得PC²=OP²+OC²-2OP•OC•cos θ=5-4cos θ，…（4分）
所以y=S_△OPC+S_△PCD
=$\frac{1}{2}$×1×2sin θ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cos θ）=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．…（8分）
（Ⅱ）当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时，y_max=2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
答：四边形OPDC面积的最大值为2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．