【题目】设函数,,.
(1)若对任意,恒成立,求的取值范围;
(2),讨论函数的单调性.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)将对任意,恒成立,转化为对任意, 恒成立,令,由函数在区间上单调递减,只需证恒成立即可.
(2)得到,求导,再分,, , ,五种情况讨论求解.
(1)因为,,即,
即,
令,
因为函数在区间上单调递减,
所以恒成立,
即在区间上恒成立,
故.
(2),
,
当时,,
,,递增,,,递减,
当时,,
,,递增,,,递减,
当时,,的单调递增区间为,
当时,,或;,当变化,,变化如下表
1 | |||||
正 | 零 | 负 | 零 | 正 | |
递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
即单调增区间为,,减区间为.
当时,,或;,当变化,,变化如下表
1 | |||||
正 | 零 | 负 | 零 | 正 | |
递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
即单调增区间为,,减区间为.
综上:当时,单调增区间为,减区间为,
当时,单调增区间为,,减区间为,
当时,的单调递增区间为,
当时,单调增区间为,,减区间为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,将这100人的年龄数据分成5组:,,,,,整理得到如图所示的频率分布直方图.
在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
不支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 23 | 17 |
(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的平均数;
(2)由频率分布直方图,若在年龄,,的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查,求年龄在组内抽取的人数;
(3)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异?
\ | 45岁以下 | 45岁以上 | 总计 |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:,其中.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的方程为,曲线:(为参数,),在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线有公共点,且直线与曲线的交点恰好在曲线与轴围成的区域(不含边界)内,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人,结果如下:
男 | 女 | |
需要 | 18 | 5 |
不需要 | 32 | 45 |
(1)估计该地区70岁以上老人中,男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少?
(2)能否有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关;
(3)根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中,需要志愿者提供帮助的老人的比例?说明理由.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,.
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【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
第一种生产方式 | 第二种生产方式 | |||||||||||||||||||
8 | 6 | 5 | 5 | 6 | 8 | 9 | ||||||||||||||
9 | 7 | 6 | 2 | 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | ||||||
9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 8 | 1 | 4 | 4 | 5 | ||||||
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | 0 |
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m | 不超过m | 总计 | |
第一种生产方式 | |||
第二种生产方式 | |||
总计 |
(3)根据(2)中的列表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:,.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩,分数制成如图的茎叶图,其中组学生每天学习数学时间不足个小时,组学生每天学习数学时间达到一个小时,学校规定分及分以上记为优秀,分及分以上记为达标,分以下记为未达标.
(1)根据茎叶图完成下面的列联表:
达标 | 未达标 | 总计 | |
组 | |||
组 | |||
总计 |
(2)判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.
参考公式与临界值表:,其中.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知公差大于0的等差数列的前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求的表达式;
(3)若,存在非零常数,使得数列是等差数列,存在,不等式成立,求k的取值范围.
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