【题目】已知函数(其中为常数,).(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立?如果存在,求的取值范围;如果不存在,请说明理由(其中是自然对数的底数,).
【答案】(Ⅰ) 当时, 的增区间为和.
当a>0时,增区间为和,减区间为和
(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)
①当时,恒成立,
于是的增区间为和.
②当时,由,得或.列表得
+ | 0 | - | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
于是增区间为和,
减区间为和
综上可得, 当时, 的增区间为和.
当时,增区间为和,减区间为和
(Ⅱ)当时,对于任意时,不等式恒成立等价于
因为,所以在上递增.
所以
由(Ⅰ)知
①当,即时,在上单调递减,
故时,成立.
②当,
当时,,
故时,成立.
当时,
,得又,
故时,成立.
③当,即时,
,得与矛盾.
综上所述,存在实数时,对于任意时,不等式恒成立.
(转化为恒成立后,用分离参数法求解,比照给分)
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【题目】某地区2008年至2014年中,每年的居民人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.7 | 3.6 | 3.3 | 4.6 | 5.4 | 5.7 | 6.2 |
对变量t与y进行相关性检验,得知t与y之间具有线性相关关系.
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)预测该地区2017年的居民人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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【题目】某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.
(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.
(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;
②证明:平面PBD⊥平面AGC.
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【题目】某校为了了解两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长,分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查,将他们观看的时长(单位:小时)作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长;
(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为,从班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为,求的概率.
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【题目】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=(-x2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数.
(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线;
(2)若方程f(x)=x3+x2+m有3个不同的根,求实数m的取值范围.
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【题目】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳远 (单位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳绳 (单位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a-1 | b | 65 |
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛
C. 8号学生进入30秒跳绳决赛 D. 9号学生进入30秒跳绳决赛
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【题目】如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为________米.
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