【题目】如图,在菱形中,,点为中点,平面
(1)求证:平面.
(2)若,,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)要证CD⊥平面PAN,可由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA;△ACD为正三角形,点N为CD中点,得出CD⊥AN,且PA∩AN=A而证出.
(2)过A作AH⊥PN于H,则AH⊥平面PCD,连接CH,则∠ACH为直线AC与平面PCD所成角.在RT△ACH中求解即可.
(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,所以△ACD为正三角形,所以AC=AD,又因为点N为CD中点,所以CD⊥AN.
∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA.PA∩AN=A,∴CD⊥平面PAN.
(2)由(1)知,CD⊥平面PAN,CD平面PCD,∴平面PAN⊥平面PCD,且平面PAN∩平面PCD=PN,
过A作AH⊥PN于H,则AH⊥平面PCD,连接CH,则∠ACH为直线AC与平面PCD所成角.
在RT△PAN中,PA,AN,由勾股定理得出PN,根据面积相等法得AH.
在RT△ACH中,sin∠ACH.即直线AC与平面PCD所成角的正弦值是.
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【题目】已知直线l:mx﹣y=1,若直线l与直线x+m(m﹣1)y=2垂直,则m的值为_____,动直线l:mx﹣y=1被圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为_____.
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【题目】某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】已知圆C经过点A(﹣1,3),B(3,3)两点,且圆心C在直线x﹣y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过圆上一点A(﹣1,3)的切线方程.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2,AB=1.
(Ⅰ)求四棱锥P﹣ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证:平面PAC⊥平面AEF.
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【题目】在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
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【题目】平面直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求.
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