Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且对任意的正整数n都有2Sn=6﹣an ， 数列{bn}满足b1=2，且对任意的正整数n都有 ，且数列 的前n项和Tn＜m对一切n∈N*恒成立，则实数m的小值为 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：当n=1时，2S1=6﹣a1 ， ∴a1=6，
∵2Sn=6﹣an ，
∴2Sn﹣1=6﹣an﹣1 ，
∴2an=﹣an+an﹣1 ，
∴3an=an﹣1 ，
∴数列{an}以6为首项，以 为公差的等差数列，
∴an=6×（ ）n﹣1 ，
∴ =2n，
∴b2﹣b1=2，
b3﹣b2=4，
…
bn﹣bn﹣1=2（n﹣1），
累加可得bn﹣b1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），
∴bn=n（n﹣1）+2，
∴ = ≤ = ﹣ ，n≥2，
∴Tn= + + +…+ ≤ + + +…+ = +1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ ＜1，n≥2时，即Tn＜1，
当n=1时，T1= ＜1，
综上所述Tn＜1，
∴m的最小值为1
所以答案是：1．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．