Question

20．如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC₁B₁对角线BC₁上的$\frac{3}{4}$分点，设$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{AA1}$，试求α、β、γ的值．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{B{C}_{1}}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）+\frac{3}{4}（\overrightarrow{C{C}_{1}}-\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AD}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
又$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{AA1}$，
∴$α=\frac{1}{2}$，$β=\frac{1}{4}$，γ=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理，属于基础题．