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设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+
14
a
)的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
分析:利用对数函数的定义域是R求得p真,不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立,求出q真时x的范围,再由真值表作出解答即可.
解答:解:∵命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+
1
4
a)的定义域为R,
∴ax2-x+
1
4
a>0恒成立,⇒
a>0
△=1-a2<0

解得a>1;
∵命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立,令g(x)=3x-9x
∵g(x)=3x-9x=-(3x-
1
2
2+
1
4
<0,
∴a>0.
∵“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,
∴命题p与命题q一真一假.
若p真q假,则a∈∅;
若p假q真,即,则0<a≤1.
综上所述,实数a的取值范围:(0,1].
点评:本题考查命题的真假判断与应用,求得分别求得p真与q真时x的范围是关键,突出考查函数恒成立问题,属于中档题.
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ax
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<a+x
对任意x≥-
1
2
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