Question

3．已知圆方程为y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．
（1）求圆心轨迹C的参数方程；
（2）点P（x，y）是（1）中曲线C上的动点，求点P到直线2x+y=10的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由圆方程为y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．化为（x-2cosθ）²+（y-3sinθ）²=9．即可得出圆心的参数方程．
（2）求出圆心C到直线2x+y=10的距离d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-10|}{\sqrt{5}}$，即可得出点P到直线2x+y=10的距离的取值范围．

解答 解：（1）由圆方程为y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．化为（x-2cosθ）²+（y-3sinθ）²=9．
其圆心为C（2cosθ，3sinθ），因此其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.（{θ为参数}）$．
（2）圆心C到直线2x+y=10的距离d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-10|}{\sqrt{5}}$∈$[\sqrt{5}，3\sqrt{5}]$．
∴点P到直线2x+y=10的距离的取值范围是$[3-\sqrt{5}，3+3\sqrt{5}]$．

点评 本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．