Question

设函数f（x）=

4+ 1 x2

，数列{a_n}满足：点P(an，

1

an+1

)在曲线y=f（x）上，其中n∈N^*，且a₁=1，a_n＞0．
（I）求a₂和a₃；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若bn=

1

an2

+2n，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，把n=，2直接代入即可求解
（II）由已知可得，

1

an+12

-

1

an2

=4，结合等差数列的通项公式可求

1

an2

，进而可求
（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解

解答：解：（I）由题意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，
当n=1时，

1

a2

=

5

即a2=

5

5

当n=2时，

1

a3

=

9

=3即a3=

1

3

（II）∵a₁=1，a_n＞0．
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∵

1

a1

=1
∴数列{

1

an2

}是以1为首项，以4为公差的等差数列
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∴an=

1

4n-3

（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ
∴T_n=（1+2¹）+（5+2²）+…+（4n-3+2ⁿ）
=n+

n(n-1)

2

×4+

2(1-2n)

1-2

=2n²-n+2ⁿ⁺¹-2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，及利用分组求和方法的应用，等差数列与等比数列的求和公式的应用．