Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x-3．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数y=f（x）图象的示意图；
（3）根据图象写出函数y=f（x）的单调递增（减）区间（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≤0时的表达式即可，设x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x-3，可求f（-x），再根据奇函数性质可求出f（x），及f（0）．
（2）根据各段函数特征依次画出即可．
（3）观察图象，从左向右呈上升趋势为增函数，呈下降趋势则为减函数，依此可写出单调区间．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=x²+2x-3，
又∵f（x）是奇函数∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x+3，
∴f（x）=-x²-2x+3，
当x=0时，f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

．
（2）函数y=f（x）的示意图如下：
     
（3）单调递增区间为：（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为：（-1，0），（0，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性及其应用、单调性与图象作法，属基础知识，难度一般．