Question

9．已知函数$f（x）={log_4}\frac{x-1}{x+1}$．
（Ⅰ）若$f（a）=\frac{1}{2}$，求a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若$f（a）=\frac{1}{2}$，则$\frac{a-1}{a+1}$=2，解得a的值；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）={log_4}\frac{x-1}{x+1}$．$f（a）=\frac{1}{2}$，
∴$lo{g}_{4}\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a-1}{a+1}$=2，
解得：a=3；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，理由如下：
函数f（x）的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称，
且f（-x）+f（x）=$lo{g}_{4}\frac{-x-1}{-x+1}$+$lo{g}_{4}\frac{x-1}{x+1}$=0，
即f（-x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，函数求值，难度中档．