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    设平面向量
    a
    =(cosα，sinα)，
    b
    =(-
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ．
    ①求证：向量
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    垂直．
    ②当两个向量
    		3
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    		3
    b
    的模相等时，且α∈(0，
    π
    2
    )    ，求角α．
    分析：①根据两个向量的坐标求出它们的模，计算 (
    a
    +
    b
    )    •(
    a
    -
    b
    )    =0，可得向量
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    垂直．
    ②求出
    		3
    a
    +
    b
     的坐标，可得它的模，再求出
    a
    -
    		3
    b
    的坐标，可得它的模．根据两个向量的模相等可得tanα=
    		3
    3
    ，由此求得α 的值．
    解答：解：①证明：∵
    a
    =(cosα，sinα)，
    b
    =(-
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，
    ∴|
    a
    |    =1，|
    b
    |    =1，(
    a
    +
    b
    )    •(
    a
    -
    b
    )    =
    a
    2    -
    b
    2    =0，
    向量
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    垂直．
    ②∵
    		3
    a
    +
    b
    =（
    		3
    cosα-
    1
    2
    ，
    		3
    sinα+
    		3
    2
    ），
    |
    		3
    a
    +
    b
    |=
    		(3cosα - 
    1
    2
    )    2    +(
    		3
    sinα+ 
    		3
    2
    )     2
    =-
    		3
    cosα+3sinα+4．
    a
    -
    		3
    b
    =（cosα+
    		3
    2
    ，sinα-
    3
    2
    ），
    |
    a
    -
    		3
    b
    |=
    		(cosα+
    		3
    2
    )    2    +(sinα -
    3
    2
    )    2
    =
    		3
    cosα-3sinα+4．
    由两个向量
    		3
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    		3
    b
    的模相等可得-
    		3
    cosα+3sinα+4=
    		3
    cosα-3sinα+4，
    解得tanα=
    		3
    3
    ，又α∈(0，
    π
    2
    )    ，
    ∴α=
    π
    6
    ．
    点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，求向量的模的方法，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设平面向量
    a
    =（cosx，sinx），
    b
    =(cosx+2
    		3
    ，sinx)    ，
    c
    =(sinα，cosα)    ，x∈R，
    （Ⅰ）若
    a
    ⊥
    c
    ，求cos（2x+2α）的值；
    （Ⅱ）若x∈(0，
    π
    2
    )    ，证明
    a
    和
    b
    不可能平行；
    （Ⅲ）若α=0，求函数f(x)=
    a
    •(
    b
    -2
    c
    )    的最大值，并求出相应的x值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：阅读理解

    请先阅读：
    设平面向量
    a
    =（a1，a2），
    b
    =（b1，b2），且
    a
    与
    b
    的夹角为θ，
    因为
    a
    •
    b
    =|
    a
    ||
    b
    |cosθ，
    所以
    a
    •
    b
    ≤|
    a
    ||
    b
    |．
    即a1b1+a2b2≤
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    ×
    b
    2
    1
    +
    b
    2
    2
    ，
    当且仅当θ=0时，等号成立．
    （I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +
    a
    2
    3
    )(
    b
    2
    1
    +
    b
    2
    2
    +
    b
    2
    3
    )    成立；
    （II）试求函数y=
    		x
    +
    		2x-2
    +
    		8-3x
    的最大值．

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    科目：高中数学 来源：山东省会考题 题型：解答题

    设平面向量a=（2，sinα），b=（cosα，），且a∥b，求sin2α的值。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    请先阅读：
    设平面向量
    a
    =（a1，a2），
    b
    =（b1，b2），且
    a
    与
    b
    的夹角为θ，
    因为
    a
    •
    b
    =|
    a
    ||
    b
    |cosθ，
    所以
    a
    •
    b
    ≤|
    a
    ||
    b
    |．
    即a1b1+a2b2≤
    a21
    +
    a22
    ×
    b21
    +
    b22
    ，
    当且仅当θ=0时，等号成立．
    （I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
    a21
    +
    a22
    +
    a23
    )(
    b21
    +
    b22
    +
    b23
    )    成立；
    （II）试求函数y=
    		x
    +
    		2x-2
    +
    		8-3x
    的最大值．

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