Question

已知实数c≥0，曲线C：y=与直线l:y=x-c的交点为P（异于原点O），在曲线C上取一点P₁（x₁,y₁），过点P₁作P₁Q₁平行于x轴，交直线l于点Q₁，过点Q₁作Q₁P₂平行于y轴，交曲线C于点P₂（x₂,y₂）,接着过点P₂作P₂Q₂平行于x轴，交直线l于点Q₂，过点Q₂作直线Q₂P₃平行于y轴，交曲线C于点P₃（x₃,y₃），如此下去，可以得到点P₄(x₄,y₄),P₅(x₅,y₅),…，P_n(x_n,y_n),….设点P的坐标为(a,),x₁=b,0＜b＜a.

(Ⅰ)试用c表示a，并证明a≥1;

(Ⅱ)试证明x₂＞x₁,且x_n＜a(n∈N^*);

(Ⅲ)当c=0,b≥时，求证：＜(k,n∈N^*).

Answer 1

解：（Ⅰ）点P的坐标（a,）满足方程组,所以=a-c,

    解a--c=0,得=,所以a=(1+2c+)

    因为c≥0,所以1+2c+≥2,所以a≥1.

(Ⅱ)由已知P₁（b,）,Q₁（+c,）,P₂(+c,).

    即x₁=b,x₂=+c.

x₂-x₁=+c-b,由（Ⅰ）c=a-.

    所以x₂-x₁=+a--b=()(),

    因为0＜b＜a,a≥1,所以x₂＞x₁.

    下面用数学归纳法证明x_n＜a(n∈N^*).

    当n=1时，x₁=b＜a;

    假设当n=k时，x_k＜a,由已知x_k+1=y_k+c,x_k＞0,

    所以,x_k+1=+c=+a-＜a.

    综上，x_n＜a(n∈N^*).

(Ⅲ)当c=0时，≤b＜a=1,x_n+1=y_n=(n∈N^*).

    所以x_n===…==

    因为b≥,所以当k≥1时，x_k+2≥x₃≥,所以，≤.

    又x_k+1-x_k=-＞0.

    所以≤b=x₁≤x_n＜a=1,x_n-x₁＜1-=,

    所以，≤=(x_n+1-x₁)＜.