Question

当a₁，a₂，…，a₂₅是0或2时，形如x=

a1

3

+

a2

32

+…+

a25

325

的一切数x，可满足（　　）

• A、0≤x＜

  1

  3

• B、

  1

  3

  ≤x＜

  2

  3

• C、

  2

  3

  ≤x＜1
• D、0≤x＜

  1

  3

  或

  2

  3

  ≤x＜1

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当a₁，a₂，…，a₂₅都是0时，可得x=0；当a₁，a₂，…，a₂₅都是2时，可得x=2(

1

3

+

1

32

+…+

1

325

)=1-

1

325

，因此x＜1．当只有a₁=2而其余为0时，x=

2

3

；当只有a₁=0而其余为2时，x=1-

1

325

-

2

3

＜

1

3

．即可得出．

解答： 解：∵a₁，a₂，…，a₂₅是0或2时，
∴a₁，a₂，…，a₂₅都是0时，
x=

a1

3

+

a2

32

+…+

a25

325

=0；
a₁，a₂，…，a₂₅都是2时，
x=

a1

3

+

a2

32

+…+

a25

325

=2(

1

3

+

1

32

+…+

1

325

)=2×

1

3

×

1- 1 325

1- 1 3

=1-

1

325

．
∴x＜1．
当只有a₁=2而其余为0时，x=

2

3

；
当只有a₁=0而其余为2时，x=1-

1

325

-

2

3

=

1

3

-

1

325

＜

1

3

．
综上可得：0≤x＜

1

3

或

2

3

≤x＜1．
故选：D．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分类讨论”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．