Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n（b_n+1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n．再利用递推关系可得a_n．代入数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）S₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为2，公差为1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1，
∴S_n=n²+n．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2n．
∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$．
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=a_n（b_n+1）=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2²+2•2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．