分析 (1)S1=2,$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1,即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,利用等差数列的通项公式可得Sn.再利用递推关系可得an.代入数列{bn}满足b1=1,bn+1=($\sqrt{2}$)${\;}^{{a}_{n}}$.可得bn.
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 解:(1)S1=2,$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1,即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1,
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差数列,首项为2,公差为1.
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1,
∴Sn=n2+n.
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.
当n=1时上式也成立,
∴an=2n.
∵数列{bn}满足b1=1,bn+1=($\sqrt{2}$)${\;}^{{a}_{n}}$.
∴bn=2n-1.
(2)cn=an(bn+1)=2n•2n=n•2n+1,
∴数列{cn}的前n项和Tn=22+2•23+3×24+…+n•2n+1,
∴2Tn=23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2,
∴-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2=$\frac{4({2}^{n}-1)}{2-1}$-n•2n+2=(1-n)•2n+2-4,
∴Tn=(n-1)•2n+2+4.
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式及其前n项和公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{7}{8}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{6}{7}$ |
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