Question

18．已知在△ABC中，cos2C=$\frac{1}{3}$，cos（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且c=asinB，则cosAcosB=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{12}$
• C． $\frac{7\sqrt{3}}{12}$
• D． -$\frac{7\sqrt{3}}{12}$

Answer 1

分析 由题意、二倍角余弦公式的变形、内角的范围求出sinC，由题意和正弦定理求出sinAsinB，由题意和两角差的余弦公式求出cosAcosB的值．

解答 解：由cos2C=$\frac{1}{3}$得，
$si{n}^{2}C=\frac{1-cos2C}{2}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
又sinC＞0，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由c=asinB及正弦定理得，sinC=sinAsinB，
所以sinAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因为cos（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以sinAsinB+cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$-\frac{\sqrt{3}}{12}$，
故选A．

点评 本题考查正弦定理，二倍角余弦公式的变形，以及两角差的余弦公式的应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力．