Question

【题目】已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣ +ax．
（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；
（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=（x﹣a）ex+a．h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．

①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为 ．

②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．

∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为 ，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣ea﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．

（2）设 ，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．

②当a≤﹣1时，令 ，解得： ，此时

∴ ．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'

a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．

③当﹣1＜a＜0时，此时 ，当 时，F'（x）＞0，F'（x）递增，当 时，F'（x）＜0，F'（x）递减．

∴ =﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

∴在 上F'（x）＞0，F（x）递增，

又∵F（2）=0，所以在 上F（x）＞0，显然不合题意．

综上所述：a≤﹣1．

【解析】（I）求出导数得到极值点，通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a≥2时分别求解函数的单调性以及函数的最值即可．（II）设 ，求出导数F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通过①当a≥0时，②当a≤﹣1时，③当﹣1＜a＜0时，分别求解函数的单调性已经函数的最值，推出a≤﹣1．