分析 (1)利用椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的焦距为2,点Q($\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$,0)在直线l:x=2上,求出a,b,c,即可求椭圆C的标准方程;
(2)设出切线方程和代入椭圆方程,求得关于x的一元二次方程,△=0,求得A和P点的坐标,求得丨OP丨及A到直线OP的距离,根据三角形的面积公式求得S,平方整理关于k的一元二次方程,△≥0,即可求得S的最小值.
解答 解:(1)∵椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦距为2,∴半焦距c=1.
∵点$Q(\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}},0)$在直线l:x=2上,$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$,∴$\frac{a^2}{c}=2$.
又c=1,∴a2=2.
∴b2=1.
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.
(2)依题意,直线l′的斜率存在,可设直线l′的方程为y=kx+m,设P(2,y0),A(x1,y1).
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
∵△=0,∴m2=2k2+1.
且${x_1}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}$,${y_1}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$,y0=2k+m.
则$|{OP}|=\sqrt{y_0^2+4}$.
又直线OP的方程为$y=\frac{y_0}{2}x$,
∴点A到直线OP的距离$d=\frac{{|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|}}{{\sqrt{y_0^2+4}}}$,
∴${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|{OP}|•d=\frac{1}{2}|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|=\frac{1}{2}|{(2k+m)\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}-\frac{2m}{{1+2{k^2}}}}|$
=$|{\frac{{1+2{k^2}+km}}{{1+2{k^2}}}m}|=|{k+m}|=|{k+\sqrt{1+2{k^2}}}|$.(取$m=\sqrt{1+2{k^2}}$时)
∵$\sqrt{1+2{k^2}}>\sqrt{2{k^2}}=2|k|$,∴$k+\sqrt{1+2{k^2}}>k+2|k|≥0$.
∴$S=k+\sqrt{1+2{k^2}}$.
∴(S-k)2=1+2k2⇒k2+2Sk-S2+1=0.
由${△^'}=8{S^2}-4≥0⇒S≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,当且仅当$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立.
同理,取$m=-\sqrt{1+2{k^2}}$时,也可得当$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时S的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
∴△POA面积S的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
点评 本题考查曲线方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,综合性强,难度大,解题时要注意推理论证能力的培养,属于中档题.
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A. | $2±\sqrt{2}$ | B. | $3±2\sqrt{2}$ | C. | $4±2\sqrt{3}$ | D. | $4±2\sqrt{2}$ |
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