Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，点Q（$\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$，0）在直线l：x=2上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，P为直线l上一动点，过点P作直线l′与椭圆相切于点A，求△POA面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，点Q（$\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$，0）在直线l：x=2上，求出a，b，c，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设出切线方程和代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨OP丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为2，∴半焦距c=1．
∵点$Q（\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}，0）$在直线l：x=2上，$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，∴$\frac{a^2}{c}=2$．
又c=1，∴a²=2．
∴b²=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）依题意，直线l′的斜率存在，可设直线l′的方程为y=kx+m，设P（2，y₀），A（x₁，y₁）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$消去y，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
∵△=0，∴m²=2k²+1．
且${x_1}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$，y₀=2k+m．
则$|{OP}|=\sqrt{y_0^2+4}$．
又直线OP的方程为$y=\frac{y_0}{2}x$，
∴点A到直线OP的距离$d=\frac{{|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|}}{{\sqrt{y_0^2+4}}}$，
∴${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|{OP}|•d=\frac{1}{2}|{{y_0}{x_1}-2{y_1}}|=\frac{1}{2}|{（2k+m）\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}-\frac{2m}{{1+2{k^2}}}}|$
=$|{\frac{{1+2{k^2}+km}}{{1+2{k^2}}}m}|=|{k+m}|=|{k+\sqrt{1+2{k^2}}}|$．（取$m=\sqrt{1+2{k^2}}$时）
∵$\sqrt{1+2{k^2}}＞\sqrt{2{k^2}}=2|k|$，∴$k+\sqrt{1+2{k^2}}＞k+2|k|≥0$．
∴$S=k+\sqrt{1+2{k^2}}$．
∴（S-k）²=1+2k²⇒k²+2Sk-S²+1=0．
由${△^'}=8{S^2}-4≥0⇒S≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立．
同理，取$m=-\sqrt{1+2{k^2}}$时，也可得当$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时S的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴△POA面积S的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．