Question

16．（Ⅰ）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=-x²+2x．另一个函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[$\frac{1}{b}，\frac{1}{a}$]，其中a≠b，a，b≠0．在x∈[a，b]上，g（x）=f（x）．求a，b．
（Ⅱ）b，c∈R，二次函数f（x）=x²+bx+c在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c²+（1+b）c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，这表明 $\left\{\begin{array}{l}{a＜b}\\{\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，可见a，b同号．当a，b＞0时，考虑以下三种情况：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．利用二次函数的单调性即可得到；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，即函数f（x）=x²+bx+c的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，进而结合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）容易求出奇函数y=f（x）的解析式为：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x，（x≥0）}\\{{x}^{2}+2x，（x＜0）}\end{array}\right.$，
函数g（x）的定义域为[a，b]，值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，其中a≠b，a、b≠0，
这表明 $\left\{\begin{array}{l}{a＜b}\\{\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}}\end{array}\right.$
可见a、b同号．也就是说y=g（x），x∈[a，b]的图象在第一或第三象限内．
根据f（x）=g（x）（x∈[a，b]以及f（x）的图象可知，函数g（x）的图象如所示曲线的一部分：

值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关．如果只考虑0＜a＜b＜2或-2＜a＜b＜0两种情况，
不能准确地用a、b表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（-2，0）再分细一些，
由图中看出，当a、b＞0时，考虑以下三种情况较好：
0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．
如果0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b，那么$\frac{1}{a}$＞1．但是x∈（0，1]时，f（x）≤1，
这与g（x）的值域区间[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]的右端点大于1矛盾．可见不出现0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b的情形．
如果1≤a＜b＜2，由图看出g（x）是减函数，
可见$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b}=g（b）={-b}^{2}+2b}\\{\frac{1}{a}=g（a）={-a}^{2}+2a}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）{（a}^{2}-a-1）=0}\\{（b-1）{（b}^{2}-b-1）=0}\end{array}\right.$，
考虑到1≤a＜b＜2的条件，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
完全类似地，考虑到-1≤a＜b＜0，-2＜a＜-1＜b＜0，-2＜b＜a≤-1三种情况后，
可以在-2＜b＜a≤-1的情况下通过值域条件得出$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
综合有：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）设二次函数f（x）=x²+bx+c的零点为x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
则：f（0）=c=x₁x₂＞0，
f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）=1+b+c＞0
f（0）f（1）=c²+bc+c=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜（ $\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}$）²•（ $\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴0＜c²+（1+c）b＜$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．