Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物E与直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）当△OAB的面积等时，求k的值．

Answer 1

解：（1）由题意得，∴p=，∴抛物线E的方程y²=-x；
（2）由方程组消去x后，得ky²+y-k=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=-，y₁y₂=-1，
∴|AB|=，h=d=，
∴S==，
∴k=．
分析：（1）由题意设：抛物线方程为y²=-2px，其抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，可得，进而得到p，从而得出抛物线E的方程．
（2）联立直线与抛物线的方程得ky²+y-k=0，再结合韦达定理及弦长公式，结合△OAB的面积列出方程，可得k的值．
点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，属于基础题．