Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=1，前n项和为S_n，又在等比数列{b_n}中，b₁=2，b₂S₂=16，且当n≥2时，有ban=4ban-1成立，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

6bn

b 2 n -1

，证明：c1+c2+…+cn≤

4

5

(9-

8

2n

)．

Answer 1

分析：（1）由已知，构造出方程2q•（2+d）=16和q^d=4，解得公差和公比，代入等差数列和等比数列通项公式，可得答案．
（2）由（1）中结论，求出数列{c_n}的通项公式，用放缩法即可得证．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的各项均为正整数，
∴设等差数列{a_n}的公差为d，d∈N，等比数列{b_n}的公比为q，
则∵a₁=1，b₁=2，b₂S₂=16，当n≥2时，有ban=4ban-1成立，
∴2q•（2+d）=16…①
q^d=4…②
解得q=d=2
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ，
（2）∵cn=

6bn

b 2 n -1

=

6•2n

22n-1

＜

6•2n

22n-1

=

6

2n-1

∴c₁+c₂+…+c_n≤6(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=6×

1 20 •(1- 1 2n )

1- 1 2

=3(1-

1

2n

)
又由n∈N^*，则0＜1-

1

2n

＜1，
所以3(1-

1

2n

)＜

32

5

(1-

1

2n

)＜

4

5

+

32

5

(1-

1

2n

)=(

36

5

-

32

5

•

1

2n

)=

4

5

(9-

8

2n

)
∴c1+c2+…+cn≤

4

5

(9-

8

2n

)．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．考查分析解决问题的能力和运算能力，是难题．