Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x﹣1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）解：∵f（x）= =

∴f（﹣x）= =

∴函数f（x）为定义域上的偶函数．

（3）证明：当x＞0时，2x＞1

∴2x﹣1＞0，

∴ ，

∴ ＞0

∵f（x）为定义域上的偶函数

∴当x＜0时，f（x）＞0

∴f（x）＞0成立

【解析】（1）由分母不能为零得2x﹣1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．（2）在（1）的基础上，只要再判断f（x）与f（﹣x）的关系即可，但要注意作适当的变形．（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x＞0时，则有2x＞1进而有2x﹣1＞0， 然后得到 ＞0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的值域的理解，了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．