Question

3．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂且F₁F₂|=2，点P（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率e；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由F₁F₂|=2，点P（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程及其离心率．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty-1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，
∴设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵左右焦点分别为F₁和F₂且F₁F₂|=2，点P（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{{1}^{\;}}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
∵△＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{t}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$，|F₁F₂|=2，圆F₂的半径为r=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∵${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×$|y₁-y₂|×|F₁F₂|=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$×2=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，∴t²=1，
∴r=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程为（x-1）²+y²=2．

点评 本题考查椭圆方程及其离心率的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．