Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R．定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：当m大于

1

4

时，总能找到k∈N，使得a_k大于2010．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x²+1，通过a_n+1=f（a_n），依次求解a₂，a₃，a₄．
（2）假设存在实数m，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列；由（1）得到a₂=f（0）=m，a₃=f（m）=m²+m，
a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m．由a₂，a₃，a₄成等差数列，利用等差中项可有2a₃=a₂+a₄，即2（m²+m）=m+（m²+m）²+m，求解然后验证即可．
（3）由an+1-an=an2+m-an=(an-

1

2

)2+(m-

1

4

)≥m-

1

4

＞m-

1

4

又m＞

1

4

，所以令d=m-

1

4

＞0，
再由累加法可有a_n-a₁≥（n-1）d，即a_n≥（n-1）d，因此只需取正整数k＞

2010

d

+1，就使得a_k大于2010．

解答：解：（1）m=1，f（x）=x²+1
因为a₁=0，所以a₂=f（0）=1，
a₃=f（1）=1²+1=2，
a₄=f（a₃）=（2）²+1=5．（4分）
（2）假设存在实数m，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．
由（1）得到a₂=f（0）=m，a₃=f（m）=m²+m，a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m．
因为a₂，a₃，a₄成等差数列，
所以2a₃=a₂+a₄，（6分）
所以，2（m²+m）=m+（m²+m）²+m，
化简得m²+（m²+2m-1）=0，
解得m=0（舍），m=-1±

2

．（8分）
经检验，此时a₂，a₃，a₄的公差不为0，
所以存在m=-1±

2

，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列（9分）
（3）因为an+1-an=an2+m-an=(an-

1

2

)2+(m-

1

4

)≥m-

1

4

，
又m＞

1

4

，所以令d=m-

1

4

＞0．
由a_n-a_n-1≥d，
a_n-1-a_n-2≥d，
…
a₂-a₁≥d
将上述不等式全部相加得a_n-a₁≥（n-1）d，即a_n≥（n-1）d，
因此只需取正整数k＞

2010

d

+1，就有ak≥(k-1)d＞d•(

2010

d

)=2010．（14分）

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的性质及累加法求通项，同时还考查存在性和数列不等式的证明，属于难题．