Question

（2011•南通模拟）若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间（-

1

2

，0）内单调递增，则实数a的取值范围是

[

3

4

，1）

．

Answer 1

分析：将函数看作是复合函数，令g（x）=x³-ax，且g（x）＞0，得x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．

解答：解：令g（x）=x³-ax，则g（x）＞0．得到 x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），
由于g′（x）=3x²-a，故x∈（-

a 3

，

a 3

）时，g（x）单调递减，?
x∈（-∞，-

a 3

）或x∈（

a 3

，+∞）时，g（x）单调递增．?
∴当a＞1时，减区间为（-

a 3

，0），?不合题意，
当0＜a＜1时，（-

a 3

，0）为增区间．?
∴（-

1

2

，0）?（-

a 3

，0），∴-

1

2

≥-

a 3

，∴a≥

3

4

．
综上，a∈[

3

4

，1）．
故答案为：[

3

4

，1）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．