Question

已知函数f(x)=sin2(

π

4

+x)+cos2x+

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥

3

2

(x∈[0，π])成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可求得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，从而可求函数f（x）的最值与最小正周期；
（Ⅱ）依题意，可知sin（2x+

π

4

）≥0⇒kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），再结合x∈[0，π]即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2(

π

4

+x)+cos²x+

1

2

=

1-cos2( π 4 +x)

2

+

1+cos2x

2

+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

…（4分）
∴f（x）的最大值为

3

2

+

2

2

，最小值为为

3

2

-

2

2

，f（x）的最小正周期为π…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）≥

3

2

，
∴sin（2x+

π

4

）≥0，
∴2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π（k∈Z），
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），…（10分）
又∵x∈[0，π]，
∴x的取值范围是[0，

3π

8

]∪[

7π

8

，π]．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查三角函数的降幂公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的最值，属于中档题．