Question

若数列{a_n}的首项为a₁=1，且对任意n∈N*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+cⁿ=0的两根，其中0＜|c|＜1，当

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）≤3，求c的取值范围．

Answer 1

分析：由题意再根据韦达定理列出a_n，a_n+1和b_n三者的关系式，再进行变形求出数列{a_n}和{b_n}的特点，对数列分组求和，再由0＜|c|＜1求极限不等式，最后求出c的值．

解答：解：∵对任意n∈N*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+cⁿ=0的两根，
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=cⁿ
∴

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

cn+1

cn

=c．
∵a₁=1，∴a₁•a₂=a₂=c．
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，构成首项为1，公比为c的等比数列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，构成首项为c，公比为c的等比数列．
又∵任意n∈N*，a_n+a_n+1=b_n恒成立．
∴

bn+2

bn

=

an+2+an+3

an+an+1

=c．又b₁=a₁+a₂=1+c，b₂=a₂+a₃=2c，
∴b₁，b₃，b₅，…，b_2n-1，构成首项为1+c，公比为c的等比数列，
b₂，b₄，b₆，…，b_2n，构成首项为2c，公比为c的等比数列，
∵0＜|c|＜1，

lim

n→∞

cⁿ=0，
∴

lim

n→∞

（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=

lim

n→∞

（b₁+b₃+b₅+…）+

lim

n→∞

（b₂+b₄+…）
=

lim

n→∞

(1+c)(1-cn)

1-c

+

lim

n→∞

2c(1-cn)

1-c

=

1+c

1-c

+

2c

1-c

≤3．
解得c≤

1

3

或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤

1

3

或-1＜c＜0．
故c的取值范围是（-1，0）∪（0，

1

3

]．

点评：本题综合性强，涉及的知识面广．本题的关键在于根据韦达定理求出数列{a_n}和{b_n}的特点，进行数列分组求和，将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式，显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系．