Question

【题目】在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（ ）

A.﹣
B.
C.﹣
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，

∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，
AB= ，BD= AC，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD⊥AE，BD⊥EF，
∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角，
过A作AO⊥面BCD，垂足为O，
∵面AEF⊥面BCD，
∴O在EF上，
理解BO交CD延长线于M，
当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，
∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，
∴OE= AE，
cos∠AEO= ，
∴cos∠AEF= ，
故选：A