Question

19．定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x₁∈I，存在唯一的x₂∈I，使得$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=x²+log₂x，x∈[1，4]，则函数f（x）=x²+log₂x，x∈[1，4]上的“均值”为$\frac{19}{2}$．

Answer 1

分析 先判断函数f（x）是单调增函数，利用定义，则可求出均值．

解答 解：存在常数M，对于任意x₁∈I，存在唯一的x₂∈I，使得$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，
∵y=x²和y=log₂x在[1，4]上均为增函数，
∴f（x）=x²+log₂x在[1，4]上均为增函数，
令x₁•x₂=1×4=4，
当x₁∈[1，4]时，选定x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$∈[1，4]，
∴M=$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（4）]=$\frac{1}{2}$[1+16+2）=$\frac{19}{2}$，
故答案为：$\frac{19}{2}$，

点评 这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．