Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan= （n≥1，n∈Z）
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{n2an}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （n∈N*）

∴ （n≥2）

两式相减得

∴ （n≥2）

∴数列{nan}从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列

∴ （n≥2）

故

（2）解：由（1）可知当n≥2时，

当n≥2时， ，

3Tn=3+431+632+…+（2n﹣1）3n﹣2+2n3n﹣1（n≥2）

两式相减可得﹣2Tn=1+130+231+232+…+23n﹣2﹣2n3n﹣1=2× ﹣2n3n﹣1，

∴ ，（n≥2）

又T1=a1=1也满足上式，

∴ （n∈N*）．

【解析】1、根据题中的已知式可推导出的关系，进而得到数列{nan}从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，得到数列的通项公式。
2、由已知可得在Tn的等式两边同时乘以公比3，两式相减得到 T n的式子，再验证当T1=a1=1也成立，

【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．