分析 (1)利用等差数列的定义及其前n项和公式即可证明;
(2)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
解答 (1)证明:设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+$\frac{n(n-1)}{2}$d,
∴bn=$\frac{{S}_{n}}{n}$=a1+$\frac{n-1}{2}$d,
∴bn+1-bn=a1+$\frac{n+1-1}{2}$d-a1-$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$d为常数,
∴数列{bn}是等差数列,首项为a1,公差为$\frac{1}{2}$d.
(2)解:设等差数列{an}的公差为d,
∵S7=7,S15=75,
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=7}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}\right.$,解得a1=-2,d=1.
∴bn=-2+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{n-5}{2}$.
∴4${\;}^{{b}_{n}}$=2n-5.
∴数列{4${\;}^{{b}_{n}}$}的前n项和Tn=$\frac{\frac{1}{16}(1-{2}^{n})}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{16}$.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{5}{2}$ | B. | 5 | C. | 10 | D. | $\frac{5}{4}$ |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | $\sqrt{7}$ | D. | 2 |
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