Question

【题目】已知函数．

（1）设．

①若函数在处的切线过点，求的值；

②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围．

（2）设函数，且，求证: 当时，．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）①由题意切线斜率,又 切线方程 ；②当 ，因为．

然后利用分类讨论思想对和分情况讨论的：；（2）由题意得,从而原命题等价于设 ,然后利用导数工具证明．

试题解析：

（1）①由题意，得,所以函数在处的切线斜率,又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得．

②当，可得，因为．

当时，，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而当时，由，解得

,当时，单调递减; 当时，单调递增, 所以函数在上有最小值为，令，解得．综上所述，．

（2）由题意，,而,等价于

，则，且，

令，则，因为，所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即．