Question

在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x²+y²=r²交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB，

则r=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设＜

OA

，

OB

＞=θ，由

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB

两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式cosθ=2cos2

θ

2

-1可求cos

θ

2

，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y-2=0的距离为d，进而可求r

解答： 解：由题意可得，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=r
设＜

OA

，

OB

＞=θ，θ∈[0，π]
则

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=r²cosθ
∵

OC

=

5

4

OA

+

3

4

OB

两边同时平方可得，

OC

2=

25

16

OA

2+

9

16

OB

2+

15

8

OA

•

OB

即r2=

25

16

r2+

9

16

r2+r2cosθ×

15

8

∴cosθ=-

3

5

∵cosθ=2cos2

θ

2

-1，

θ

2

∈[0，

π

2

]
∴且cos

θ

2

＞0
∴cos

θ

2

=

5

5

设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d，则d=rcos

θ

2

=

2

2

=

2

即

5

5

r=

2

∴r=

10

故答案为：

10

．

点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．