分析 (Ⅰ)由题意取CD中点O,则AO⊥CD,PO⊥底面ABCD,分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得相关点的坐标,由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=0可得;
(Ⅱ)设直线PC与平面DCM所成角为θ,由垂直关系可得法向量$\overrightarrow{n}$的坐标,代入sinθ=|cos<$\overrightarrow{PC}$,$\overrightarrow{n}$>|计算可得.
解答 解:(Ⅰ)由题意取CD中点O,则AO⊥CD,PO⊥底面ABCD,
分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可得P(0,0,$\sqrt{3}$),A(0,$\sqrt{3}$,0),D(1,0,0),
C(-1,0,0),B(-2,$\sqrt{3}$,0),M(-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)
∴$\overrightarrow{PA}$=(0,$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{DM}$=(-2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=0,∴$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{DM}$,∴PA⊥DM;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得$\overrightarrow{PC}$=(-1,0,-$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{DM}$=(-2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),$\overrightarrow{DC}$=(-2,0,0),
设直线PC与平面DCM所成角为θ,平面DCM的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-2x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-2x=0}\end{array}\right.$,解得x=0且y=-z,故可取$\overrightarrow{n}$=(0,-1,1),
∴sinθ=|cos<$\overrightarrow{PC}$,$\overrightarrow{n}$>|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}•\sqrt{(-1)^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
点评 本题考查空间中直线和平面的位置关系,建系并转化为向量的夹角是解决问题的关键,属中档题.
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A. | 16 | B. | 18 | C. | 20 | D. | 22 |
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A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{5}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | C. | (0,$\frac{\sqrt{5}}{3}$] | D. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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