Question

如图，四棱锥S-ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=

3

AD．E为CD上一点，且CE=3DE．
（1）求证：AE⊥平面SBD；
（2）M、N分别在线段CD、SB上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）画出底面图形，说明BD就是SB在底面ABCD上的射影，通过证明AE⊥BD，证明AE⊥平面SBD．
（2）假设MN存在，利用空间直角坐标系，求出A，B，C，D，设出M，N的坐标，利用MN⊥CD且MN⊥SB，转化

NM • DC =0 NM • BS =0

，求出M，N坐标，是否满足题意，即可说明是否存在MN．

解答：解：（1）证明：因为四棱锥S-ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，
所以SD⊥平面ABCD．
BD就是SB在底面ABCD上的射影．
因为AB=2AD，E为CD上一点，且CE=3DE．
如图：
∵tan∠1=

DE

AD

=

1

2

，tan∠DBA=

AD

AB

=

1

2

，
∴∠BAC=∠DBA，同理∠BDA=∠DEA
∴∠1+∠BDA=90°．
所以AE⊥BD．
所以AE⊥平面SBD；
（2）假设存在MN满足MN⊥CD且MN⊥SB．
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D（0，0，0），
A（a，0，0），C（0，2a，0），B（a，2a，0），S（0，0，

3

a），
设

DM

=

DB

+t

BS

=（a，2a，0）+t（-a，-2a，

3

a）=（a-ta，2a-ta，

3

a），（t∈[0，1]）
即M（a-ta，2a-ta，

3

a），N（0，y，0），y∈[0，2a]

NM

=（a-ta，2a-ta-y，

3

a）．
使MN⊥CD且MN⊥SB，
则

NM • DC =0 NM • BS =0

，

(a-ta，2a-ta-y， 3 a)•(0，2a，0)=0 (a-ta，2a-ta-y，3a)•(-a，-2a， 3 a)=0

可得

2a(2a-ta-y)=0 -a(a-ta)-2a(2a-ta-y)+3 3 a2=0

，
t=-1-3

3

∉[0，1]．y=3a+3

3

a∉[0，2a]．
故不存在MN使MN⊥CD且MN⊥SB．

点评：本题是难题，（1）考查直线与平面的垂直，注意三垂线定理的应用；（2）空间直角坐标系的应用，注意M，N中的条件的发现，t∈[0，1]，y∈[0，2a]，否则容易出错，本题的解答值得借鉴．