Question

（09年莱阳一中期末文）(12分)

我们用部分自然数构造如下的数表：用表示第行第个数为整数，使；每行中的其余各数分别等于其‘肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第 (为正整数)行中各数之和为。

（1）              试写出并推测和的关系（无需证明）；

（2）              证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（3）              数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在求出的关系；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解析：（1）

可见：

猜测：

（2）由（1）

所以是以为首项，2为公比的等比数列

∴

（若考虑，且不讨论，扣1分）

（3）若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设

显然，是递增数列，则………………………………9分

即：，于是，…10分

由且知，

∴等式的左边为偶数，右边为奇数不成立，故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列………………………………………………12分