Question

已知函数的图像过坐标原点，且在点 处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2） 求函数在区间上的最小值；
（Ⅲ）若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（Ⅲ）点的横坐标的取值范围为．

试题分析：（1）求实数的值求导数，根据函数在点处的切线的斜率是，由导数的几何意义，及当时，，对函数求导数得，，依题意，可求出，又因为图象过坐标原点，则，即可求得实数的值；（2）求函数在区间上的最小值，当时，，对函数求导函数，令，解出的值，确定函数的单调性，计算导数等零点与端点的函数值，从而可得函数在区间上的最小值；（Ⅲ）设，因为中点在轴上，所以，根据，可得，分类讨论，确定函数的解析式，利用，即可求得结论．
试题解析：（1）当时，，
依题意，
又   故              3分
（2）当时，
令有，故在单调递减；在单调递增；
在单调递减．又,
所以当时，          6分
（Ⅲ）设，因为中点在轴上，所以
又  ①
（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立  7分
（ⅱ）当时，代人①得：
，
无解                                  8分
（ⅲ）当时，代人①得：
   ②
设，则是增函数.
的值域是．               10分
所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．
（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，
，代人①得：
 ③
设，令，则由上面知
的值域是的值域为.
所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件。      12分
综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为                14分