Question

12．比较$\sqrt{2}$，$\root{3}{3}$，$\root{4}{4}$，$\root{5}{5}$的大小．

Answer 1

分析 由指数幂的运算性质，作商法比较可得．

解答 解：∵（$\frac{\sqrt{2}}{\root{3}{3}}$）⁶=$\frac{8}{9}$＜1，∴$\sqrt{2}$＜$\root{3}{3}$；
同理（$\frac{\root{3}{3}}{\root{4}{4}}$）¹²=$\frac{81}{64}$＞1，∴$\root{3}{3}$＞$\root{4}{4}$，
（$\frac{\root{4}{4}}{\root{5}{5}}$）²⁰=$\frac{1024}{625}$＞1，∴$\root{4}{4}$＞$\root{5}{5}$，
又$\root{4}{4}$=${4}^{\frac{1}{4}}$=$（{2}^{2}）^{\frac{1}{4}}$=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$=$\root{4}{4}$＞$\root{5}{5}$．

点评 本题考查不等式比较大小，涉及指数幂的运算性质，属基础题．