Question

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．

Answer 1

分析：将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可．

解答：证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c²=（a+c）•（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2

a

＞0，b+1≥2

b

＞0，a+c≥2

ac

＞0，b+c≥2

bc

＞0，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2

a

×2

b

×2

ac

×2

bc

=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．

点评：本题考查不等式的证明，关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），着重考查基本不等式的应用，属于中档题．