Question

（2013•宁德模拟）已知曲线f（x）=x³+bx²+cx在点我A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（I）求实数b，c的值；
（II ）若函数y=f（x）（x∈[-

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，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；
（III）若存在x₀∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲线在A、B两点处的切线互相平行，则函数在x=-1和x=3时的导数相等，再由0是函数的一个极值点，则x=0时的导数是0，联立方程组即可解得实数b，c的值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，根据导函数的符号分析出原函数在[-

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，3]内的单调区间，找出函数在（-

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，3）上的极值点，求出极值，把极值和端点处的函数值比较后，根据函数y=f（x）的图象与y=m恰有三个交点即可得到实数m的取值范围；
（Ⅲ）存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，可转化为函数g(x)=

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x2+alnx-(a+1)x在[1，e]上的最小值小于等于0，求出函数g（x）的导函数，通过对a分类求解函数g（x）在[1，e]上的最小值，由最小值小于等于0求解实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx，得f^′（x）=3x²=2bx+c，
∵曲线f（x）=x³+bx²+cx在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0，
∴

f′(-1)=f′(3) f′(0)=0

，即

3-2b+c=27+6b+c c=0

，解得：

b=-3 c=0

．
∴实数b，c的值分别为-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，∴f^′（x）=3x²-6x，
由f^′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f^′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函数f（x）在区间[-

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，0)，（2，3]上递增，在（0，2）上递减．
且f(-

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)=(-

1

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)3-3×(-

1

2

)2=-

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，f（0）=0，f（2）=2³-3×2²=-4，f（3）=3³-3×3²=0．
∴函数y=f（x）（x∈[-

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，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，则-

7

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≤m＜0．
故所求实数m的取值范围是[-

7

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，0)．
（Ⅲ）依题意知存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，即

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x02-x0+alnx0≤ax0成立，
设g(x)=

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x2+alnx-(a+1)x，则g（x）_min≤0，
g′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，
①当a≤1时，由x∈（1，e），g^′（x）＞0，得函数g（x）在[1，e]上递增，
∴g(x)min=g(1)=

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2

-(a+1)≤0，得-

1

2

≤a≤1．
②当1＜a＜e时，可知在（1，a）上g^′（x）0，
得函数g（x）在（1，a）上递减，在（a，e）上递增，
∴g(x)min=g(a)=-

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2

a2+alna-a≤0恒成立，∴1＜a＜e．
③当a≥e时，在x∈（1，e）上g^′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，e]上递减，
∴g(x)min=g(e)=-

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2

e2+a-ae-e≤0，∴a≥

e2-2e

2(e-1)

，又

e2-2e

2(e-1)

＜e，
∴a≥e．
综上可知：a≥-

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．
∴实数a的取值范围是[-

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，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数在某点取得极值的条件，考查了数学转化思想，此题的难点在于把存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立转化为一个函数的最小值小于等于0，考查了学生灵活分析和处理问题的能力．此题属难题．