Question

【题目】如图，在直三棱柱中， 是等腰直角三角形， ，侧棱， 分别为与的中点，点在平面上的射影是的重心.

（1）求证： 平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求证直线DE平行于平面ABC，可利用线面平行的判定定理，因此想到在平面ABC内找到一条与DE平行的直线即可，根据E为A1B的中点，所以可取AB的中点F，根据三角形中位线知识证出四边形DEFC为平行四边形，从而得到DE∥CF，则问题得证；
（2）连接DF，在平面EFD内过E作EH⊥DF于H，通过证明AB垂直于平面EFD得到AB⊥EH，从而说明EH垂直于平面ABD，得到∠EBH为A1B与平面ABD所成角，在直角三角形EHB中可求该角的正弦值．

试题解析：

（1）证明：如图,取AB中点F,连接EF,FC,

又因为E为的中点，所以EF∥A,EF=12A，又DC∥A,DC=12A

所以四边形DEFC为平行四边形则ED∥CF，

因为 是等腰直角三角形， ，所以CF垂直于AB，又CF垂直于A，

所以CF 面，所以ED 面.

（2）取中点，连,在内作于点,

由相似三角形知识求出

, , 与平面所成的角为,

.